Boat and Stream Problems (नाव और धारा) Tricks - KVS NVS Math

KVS/NVS विशेष: नाव और धारा (Boats and Streams)

गणित में 'नाव और धारा' (Boats and Streams) के प्रश्न छात्रों को अक्सर भ्रमित करते हैं क्योंकि इसमें 'अनुकूल' (Downstream) और 'प्रतिकूल' (Upstream) चाल का कांसेप्ट रेलगाड़ी वाले कांसेप्ट से उल्टा होता है। आइए, इसे बहुत ही आसान भाषा और सूत्रों के साथ समझें।

विषय सूची (Quick Links)

मूल शब्दावली मुख्य सूत्र (Formulas) रेलगाड़ी vs नाव शॉर्ट ट्रिक्स हल सहित उदाहरण 20 अभ्यास प्रश्न उत्तरमाला

1. मूल शब्दावली (Basic Terminology)

इस अध्याय में हम मुख्य रूप से दो चरों (Variables) का उपयोग करेंगे:

• x = शांत जल में नाव की चाल (Speed of Boat in Still Water)
• y = धारा की चाल (Speed of Stream/Current)

नियम: नाव की चाल (x) हमेशा धारा की चाल (y) से अधिक होनी चाहिए (x > y), तभी नाव वापस लौट पाएगी।

2. चार जादुई सूत्र (The 4 Magic Formulas)

पूरा चैप्टर इन्हीं 4 सूत्रों पर टिका है:

1. धारा के अनुकूल (Downstream - D):

जब नाव पानी के बहाव के साथ जाती है, तो पानी उसे धक्का देता है।

D = x + y

2. धारा के प्रतिकूल (Upstream - U):

जब नाव पानी के बहाव के विरुद्ध जाती है, तो पानी उसे रोकता है।

U = x - y

3. शांत जल में नाव की चाल (x):

जब आपको अनुकूल (D) और प्रतिकूल (U) चाल पता हो।

x =

D + U2

4. धारा की चाल (y):

y =

D - U2

3. रेलगाड़ी vs नाव (The Confusion Point)

छात्र अक्सर यहाँ गलती करते हैं। ध्यान दें:

स्थिति	रेलगाड़ी (Trains)	नाव और धारा (Boats)
एक ही दिशा (Same Direction)	चाल घटती है (S₁ - S₂)	चाल जुड़ती है (x + y) (इसे Downstream कहते हैं)
विपरीत दिशा (Opposite)	चाल जुड़ती है (S₁ + S₂)	चाल घटती है (x - y) (इसे Upstream कहते हैं)

याद रखें: नाव में पानी नाव को अपने साथ ले जाता है (Same Direction = Help = Add), जबकि रेलगाड़ी में सापेक्ष चाल (Relative Speed) देखी जाती है।

4. शॉर्ट ट्रिक्स (Short Tricks)

• दूरी निकालना: यदि कोई नाव किसी स्थान पर जाती है और वापस आती है, और कुल समय 'T' लगता है, तो दूरी:
  D =
  T(x² - y²)2x
• औसत चाल: यदि समान दूरी तय की जाए, तो औसत चाल =
  2 × D × UD + U

5. हल सहित उदाहरण (Solved Examples)

उदाहरण 1: एक नाव धारा के अनुकूल 16 किमी/घंटा और धारा के प्रतिकूल 10 किमी/घंटा की चाल से चलती है। शांत जल में नाव की चाल और धारा की गति ज्ञात करें।

हल:
D = 16, U = 10
नाव की चाल (x) = (16 + 10) / 2 = 26 / 2 = 13 km/hr
धारा की चाल (y) = (16 - 10) / 2 = 6 / 2 = 3 km/hr

उदाहरण 2: एक व्यक्ति शांत जल में 6 किमी/घंटा की चाल से तैर सकता है। यदि धारा की चाल 2 किमी/घंटा है, तो उसे एक निश्चित दूरी तक जाने और वापस आने में 3 घंटे लगते हैं। दूरी ज्ञात करें।

हल:
x = 6, y = 2
D (अनुकूल) = 6 + 2 = 8
U (प्रतिकूल) = 6 - 2 = 4
औसत चाल = (2 × 8 × 4) / (8 + 4) = 64 / 12 = 16/3 km/hr
कुल दूरी (आना + जाना) = चाल × समय = (16/3) × 3 = 16 km
एक तरफ की दूरी = 16 / 2 = 8 km

6. अभ्यास प्रश्नावली (Practice Set for KVS/NVS)

अपनी तैयारी परखें (कुल 20 प्रश्न):

Q1. एक नाव धारा की दिशा में 24 किमी/घंटा और धारा के विपरीत 16 किमी/घंटा की चाल से चलती है। धारा की चाल क्या है?

(A) 4 किमी/घंटा (B) 5 किमी/घंटा (C) 8 किमी/घंटा (D) 6 किमी/घंटा

Q2. एक नाविक शांत जल में 8 किमी/घंटा की चाल से नाव चला सकता है। यदि नदी का बहाव 2 किमी/घंटा हो, तो धारा के अनुकूल नाविक की चाल क्या होगी?

(A) 6 किमी/घंटा (B) 8 किमी/घंटा (C) 10 किमी/घंटा (D) 12 किमी/घंटा

Q3. एक नाव धारा के प्रतिकूल 1 घंटे में 6 किमी जाती है और धारा के अनुकूल 1 घंटे में 8 किमी जाती है। शांत जल में नाव की चाल क्या है?

(A) 7 किमी/घंटा (B) 6 किमी/घंटा (C) 8 किमी/घंटा (D) 9 किमी/घंटा

Q4. एक व्यक्ति धारा के अनुकूल 15 किमी तैरने में 3 घंटे लेता है और धारा के प्रतिकूल वापस आने में 5 घंटे लेता है। धारा की गति ज्ञात करें।

(A) 1 किमी/घंटा (B) 2 किमी/घंटा (C) 1.5 किमी/घंटा (D) 0.5 किमी/घंटा

Q5. यदि शांत जल में नाव की चाल 10 किमी/घंटा है और धारा की चाल 2 किमी/घंटा है, तो धारा के अनुकूल 36 किमी जाने में कितना समय लगेगा?

(A) 2 घंटे (B) 3 घंटे (C) 4 घंटे (D) 2.5 घंटे

Q6. एक नाव धारा के विपरीत 20 किमी की दूरी 4 घंटे में तय करती है और धारा की दिशा में वही दूरी 2 घंटे में तय करती है। शांत जल में नाव की गति क्या है?

(A) 6.5 किमी/घंटा (B) 7.5 किमी/घंटा (C) 5 किमी/घंटा (D) 8 किमी/घंटा

Q7. एक तैराक धारा के साथ 5 मिनट में 1 किमी तैरता है और धारा के विरुद्ध 1 घंटे में 6 किमी तैरता है। धारा की गति क्या है?

(A) 3 किमी/घंटा (B) 6 किमी/घंटा (C) 10 किमी/घंटा (D) 4 किमी/घंटा

Q8. एक नाव को धारा के प्रतिकूल जाने में धारा के अनुकूल जाने की तुलना में दुगुना समय लगता है। यदि पानी की चाल 3 किमी/घंटा है, तो नाव की चाल क्या है?

(A) 9 किमी/घंटा (B) 10 किमी/घंटा (C) 12 किमी/घंटा (D) 6 किमी/घंटा

Q9. एक नाव शांत जल में 13 किमी/घंटा की गति से यात्रा कर सकती है। यदि धारा की गति 4 किमी/घंटा है, तो नाव को धारा के अनुकूल 68 किमी जाने में कितना समय लगेगा?

(A) 3 घंटे (B) 4 घंटे (C) 5 घंटे (D) 6 घंटे

Q10. एक व्यक्ति शांत जल में 5 किमी/घंटा की चाल से नाव चला सकता है। यदि धारा की चाल 1 किमी/घंटा है, और उसे एक स्थान पर जाने और वापस आने में 1 घंटा लगता है, तो वह स्थान कितनी दूर है?

(A) 2.4 किमी (B) 2.5 किमी (C) 3 किमी (D) 3.6 किमी

Q11. शांत जल में नाव की गति 9 किमी/घंटा है और धारा की गति 3 किमी/घंटा है। एक आदमी नाव से धारा के प्रतिकूल 12 किमी जाता है और वापस आता है। कुल समय ज्ञात करें।

(A) 2 घंटे (B) 2.5 घंटे (C) 3 घंटे (D) 4 घंटे

Q12. एक मोटरबोट जिसकी शांत जल में गति 15 किमी/घंटा है, धारा के अनुकूल 30 किमी जाती है और कुल 4 घंटे 30 मिनट में वापस आती है। धारा की गति क्या है?

(A) 4 किमी/घंटा (B) 5 किमी/घंटा (C) 6 किमी/घंटा (D) 3 किमी/घंटा

Q13. धारा की दिशा में नाव की चाल, धारा के विपरीत चाल से 50% अधिक है। यदि शांत जल में नाव की चाल 30 किमी/घंटा है, तो धारा की चाल ज्ञात करें?

(A) 4 किमी/घंटा (B) 5 किमी/घंटा (C) 6 किमी/घंटा (D) 8 किमी/घंटा

Q14. एक व्यक्ति धारा के विपरीत 15 किमी और धारा के साथ 18 किमी की दूरी तैरने में प्रत्येक बार 3 घंटे का समय लेता है। धारा की गति क्या है?

(A) 0.5 किमी/घंटा (B) 1 किमी/घंटा (C) 1.5 किमी/घंटा (D) 2 किमी/घंटा

Q15. एक नाव धारा के अनुकूल 24 किमी 4 घंटे में तय करती है तथा धारा के प्रतिकूल वही दूरी 6 घंटे में तय करती है। शांत जल में नाव की गति क्या है?

(A) 4 किमी/घंटा (B) 4.5 किमी/घंटा (C) 5 किमी/घंटा (D) 5.5 किमी/घंटा

Q16. शांत जल में नाव की चाल 6 किमी/घंटा है। धारा की चाल 1.5 किमी/घंटा है। एक व्यक्ति 22.5 किमी दूर एक स्थान पर नाव से जाता है और वापस आता है। उसे कुल कितना समय लगेगा?

(A) 8 घंटे (B) 10 घंटे (C) 6 घंटे (D) 12 घंटे

Q17. एक व्यक्ति शांत जल में 7.5 किमी/घंटा की गति से नाव चला सकता है। यदि नदी 1.5 किमी/घंटा की गति से बह रही है, तो उसे 50 मिनट में एक स्थान पर जाने और वापस आने में कितनी दूरी तय करनी होगी? (एक तरफ की दूरी)

(A) 3 किमी (B) 4 किमी (C) 2.5 किमी (D) 3.5 किमी

Q18. एक नाव धारा के विपरीत P से Q तक जाती है और धारा के अनुकूल Q से P तक वापस आती है। यदि शांत जल में नाव की गति 4 किमी/घंटा और धारा की गति 1 किमी/घंटा है, तो पूरी यात्रा के लिए औसत गति क्या है?

(A) 3.75 किमी/घंटा (B) 3.5 किमी/घंटा (C) 4 किमी/घंटा (D) 3.25 किमी/घंटा

Q19. यदि धारा की गति 5 किमी/घंटा है और एक मोटरबोट धारा के विपरीत 10 किमी जाती है और 50 मिनट में वापस आती है। शांत जल में मोटरबोट की गति क्या है? (क्वाड्रैटिक समीकरण)

(A) 20 किमी/घंटा (B) 25 किमी/घंटा (C) 28 किमी/घंटा (D) 30 किमी/घंटा

Q20. एक व्यक्ति धारा के अनुकूल 32 किमी और धारा के प्रतिकूल 14 किमी जाने में प्रत्येक के लिए 6 घंटे लेता है। धारा की चाल क्या है?

(A) 1.5 किमी/घंटा (B) 1 किमी/घंटा (C) 2.5 किमी/घंटा (D) 3 किमी/घंटा

7. उत्तरमाला (Answer Key)

Q1. (A) 4 किमी/घंटा [y = (24-16)/2 = 8/2 = 4]

Q2. (C) 10 किमी/घंटा [D = x + y = 8 + 2 = 10]

Q3. (A) 7 किमी/घंटा [D=8, U=6. x=(8+6)/2=7]

Q4. (A) 1 किमी/घंटा [D=15/3=5 km/h. U=15/5=3 km/h. y=(5-3)/2=1]

Q5. (B) 3 घंटे [D = 10+2=12. समय = 36/12 = 3]

Q6. (B) 7.5 किमी/घंटा [U=20/4=5. D=20/2=10. x=(10+5)/2=7.5]

Q7. (A) 3 किमी/घंटा [D=1km/5min = 12km/hr. U=6km/hr. y=(12-6)/2=3]

Q8. (A) 9 किमी/घंटा [समय T:2T. चाल 2:1. (x+3)/(x-3) = 2/1. x+3=2x-6. x=9]

Q9. (B) 4 घंटे [D = 13+4=17. समय = 68/17 = 4]

Q10. (A) 2.4 किमी [x=5, y=1. D=6, U=4. दूरी=d. d/6 + d/4 = 1. (2d+3d)/12=1. 5d=12. d=2.4]

Q11. (C) 3 घंटे [D=12, U=6. जाने में 12/6=2h. आने में 12/12=1h. कुल 3h]

Q12. (B) 5 किमी/घंटा [30/(15+y) + 30/(15-y) = 4.5. ऑप्शन से चेक करें. यदि y=5, 30/20 + 30/10 = 1.5+3=4.5. सही]

Q13. (C) 6 किमी/घंटा [D = 1.5U. (30+y) = 1.5(30-y). 30+y = 45-1.5y. 2.5y=15. y=6]

Q14. (A) 0.5 किमी/घंटा [U=15/3=5. D=18/3=6. y=(6-5)/2=0.5]

Q15. (C) 5 किमी/घंटा [D=24/4=6. U=24/6=4. x=(6+4)/2=5]

Q16. (A) 8 घंटे [D=7.5, U=4.5. समय = 22.5/7.5 + 22.5/4.5 = 3 + 5 = 8]

Q17. (A) 3 किमी [D=9, U=6. कुल समय 50/60 hr. d/9 + d/6 = 5/6. (2d+3d)/18 = 5/6. 5d/18=5/6. d=3]

Q18. (A) 3.75 किमी/घंटा [D=5, U=3. औसत चाल = (2*5*3)/(5+3) = 30/8 = 3.75]

Q19. (B) 25 किमी/घंटा [10/(x-5) + 10/(x+5) = 50/60. ऑप्शन से: 25 रखें -> 10/20 + 10/30 = 1/2 + 1/3 = 5/6 (50/60). सही]

Q20. (A) 1.5 किमी/घंटा [D=32/6=5.33. U=14/6=2.33. y=(5.33-2.33)/2 = 3/2 = 1.5]