Area & Circumference of Circle (वृत्त का क्षेत्रफल) Tricks - KVS NVS Math

KVS/NVS विशेष: वृत्त (Circle) - क्षेत्रफल और परिधि

2D ज्यामिति में वृत्त (Circle) सबसे महत्वपूर्ण टॉपिक है। परीक्षा में समय बचाने के लिए आपको केवल सूत्र (Formulas) ही नहीं, बल्कि 'त्रिज्या और क्षेत्रफल' के बीच का जादुई रिश्ता (7-44-154 नियम) भी पता होना चाहिए।

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विषय सूची (Quick Links)

मूल परिभाषा महत्वपूर्ण सूत्र 7-44-154 जादुई ट्रिक अर्धवृत्त (Semicircle) पहिये के चक्कर त्रिज्यखंड (Sector) 20 अभ्यास प्रश्न उत्तरमाला

1. मूल परिभाषा (Basics)

• त्रिज्या (Radius - r): केंद्र से परिधि तक की दूरी।
• व्यास (Diameter - d): त्रिज्या का दुगुना (d = 2r)।
• परिधि (Circumference): वृत्त की बाउंड्री की लंबाई।
• π (Pi): इसका मान लगभग 22/7 या 3.14 होता है।

2. महत्वपूर्ण सूत्र (Important Formulas)

वृत्त (Circle):

1. क्षेत्रफल (Area) = πr²

2. परिधि (Circumference) = 2πr या πd

वलय या छल्ला (Ring/Path):

जब एक बड़े वृत्त के अंदर छोटा वृत्त हो (जैसे पार्क का रास्ता)।

रास्ते का क्षेत्रफल = π (R² - r²)

(जहाँ R = बाहरी त्रिज्या, r = भीतरी त्रिज्या)

3. जादुई तालिका (7-44-154 Rule) - Super Trick

KVS/NVS में 90% प्रश्न इन्हीं संख्याओं पर आधारित होते हैं। इसे याद कर लें, पेन उठाने की जरूरत नहीं पड़ेगी।

त्रिज्या (r)	परिधि (2πr)	क्षेत्रफल (πr²)
7	44	154
14 (दुगुना)	88 (दुगुना)	616 (4 गुना)
21 (तीन गुना)	132 (तीन गुना)	1386 (9 गुना)
3.5 (आधा)	22 (आधा)	38.5 (1/4 गुना)

नियम: यदि त्रिज्या 'n' गुना होती है, तो परिधि 'n' गुना होगी, लेकिन क्षेत्रफल 'n²' गुना होगा।

4. अर्धवृत्त (Semicircle) - सावधानी!

छात्र यहाँ सबसे ज्यादा गलती करते हैं। अर्धवृत्त का परिमाप सिर्फ आधा घेरा नहीं होता, उसमें व्यास (Diameter) भी जुड़ता है।

अर्धवृत्त (Semicircle):

1. क्षेत्रफल = ½ πr²

2. परिमाप = πr + 2r (घेरा + व्यास)

(शॉर्टकट: यदि r=7 है, तो परिमाप = 36 होगा)

5. पहिये के चक्कर (Revolutions)

जब कोई पहिया घूमता है, तो वह एक चक्कर में अपनी 'परिधि' (Circumference) के बराबर दूरी तय करता है।

दूरी (Distance) = चक्करों की संख्या (N) × परिधि (2πr)
चक्कर (N) = कुल दूरी / 2πr

6. त्रिज्यखंड (Sector of Circle)

वृत्त का वह हिस्सा जो दो त्रिज्याओं और एक चाप से घिरा हो (जैसे पिज़्ज़ा का टुकड़ा)।

सूत्र:

1. चाप की लंबाई (Length of Arc) = (θ/360) × 2πr

2. त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल (Area of Sector) = (θ/360) × πr²

7. हल सहित उदाहरण (Solved Examples)

उदाहरण 1: एक वृत्त की परिधि 88 सेमी है। उसका क्षेत्रफल ज्ञात करें।

हल (ट्रिक विधि):
हमें पता है: यदि परिधि 44 होती, तो r=7 होता।
यहाँ परिधि 88 है (44 का दुगुना)।
इसलिए त्रिज्या (r) भी दुगुनी होगी = 14 सेमी।
क्षेत्रफल = 154 का 4 गुना (2²) = 616 सेमी²

उदाहरण 2: एक पहिये का व्यास 1.26 मीटर है। 500 चक्कर लगाने में यह कितनी दूरी तय करेगा?

हल:
त्रिज्या (r) = 1.26/2 = 0.63 मीटर
एक चक्कर में दूरी (2πr) = 2 × 22/7 × 0.63 = 44 × 0.09 = 3.96 मीटर
500 चक्कर में दूरी = 500 × 3.96 = 1980 मीटर

8. अभ्यास प्रश्नावली (Practice Set for KVS/NVS)

अपनी तैयारी परखें (कुल 20 प्रश्न):

Q1. यदि एक वृत्त की त्रिज्या 14 सेमी है, तो उसका क्षेत्रफल क्या है?

(A) 154 (B) 616 (C) 308 (D) 440

Q2. एक वृत्त का क्षेत्रफल 154 वर्ग सेमी है। इसकी परिधि क्या होगी?

(A) 22 सेमी (B) 44 सेमी (C) 66 सेमी (D) 88 सेमी

Q3. एक अर्धवृत्त (Semicircle) का व्यास 14 सेमी है। इसका परिमाप ज्ञात करें। (याद रखें: πr + 2r)

(A) 22 सेमी (B) 36 सेमी (C) 44 सेमी (D) 58 सेमी

Q4. दो वृत्तों की त्रिज्याओं का अनुपात 3:4 है। उनके क्षेत्रफलों का अनुपात क्या होगा?

(A) 3:4 (B) 9:16 (C) 6:8 (D) 27:64

Q5. एक तार को वर्ग के रूप में मोड़ा जाता है जिसका क्षेत्रफल 121 वर्ग सेमी है। यदि उसी तार को वृत्त के रूप में मोड़ा जाए, तो वृत्त का क्षेत्रफल क्या होगा?

(A) 150 (B) 154 (C) 144 (D) 132

Q6. एक साइकिल के पहिये का व्यास 70 सेमी है। वह 1 मिनट में कितने चक्कर लगाएगा यदि साइकिल 66 किमी/घंटा की गति से चल रही है? (Tricky Calculation)

(A) 250 (B) 500 (C) 300 (D) 400

Q7. किसी वृत्त की त्रिज्या में 10% की वृद्धि की जाती है। उसके क्षेत्रफल में कितने प्रतिशत की वृद्धि होगी? (Net% Formula: x+y+xy/100)

(A) 10% (B) 20% (C) 21% (D) 100%

Q8. एक वृत्ताकार पार्क की त्रिज्या 28 मीटर है। इसके अंदर चारों ओर 7 मीटर चौड़ा रास्ता है। रास्ते का क्षेत्रफल क्या है? (Area = π(R² - r²))

(A) 1078 (B) 1100 (C) 980 (D) 1232

Q9. एक वृत्त के त्रिज्यखंड (Sector) का क्षेत्रफल क्या होगा यदि त्रिज्या 21 सेमी और कोण 60° है?

(A) 231 (B) 230 (C) 115.5 (D) 462

Q10. एक वृत्त की परिधि और व्यास का अंतर 30 सेमी है। उस वृत्त की त्रिज्या क्या है? (Use π=22/7)

(A) 6 सेमी (B) 7 सेमी (C) 5 सेमी (D) 8 सेमी

Q11. 42 सेमी त्रिज्या वाले एक पहिए द्वारा 400 चक्करों में तय की गई दूरी कितनी होगी?

(A) 1056 मीटर (B) 1000 मीटर (C) 980 मीटर (D) 1200 मीटर

Q12. यदि किसी वृत्त का क्षेत्रफल 38.5 वर्ग सेमी है, तो उसकी परिधि क्या है?

(A) 22 (B) 11 (C) 44 (D) 18

Q13. एक आयत की भुजाएं 8 सेमी और 6 सेमी हैं। उस वृत्त का क्षेत्रफल ज्ञात करें जो आयत के शीर्षों से होकर गुजरता है (Circumcircle)। (Hint: आयत का विकर्ण = वृत्त का व्यास)

(A) 25π (B) 16π (C) 36π (D) 100π

Q14. एक वृत्त की त्रिज्या और परिधि का अनुपात क्या है?

(A) 1 : 2π (B) 1 : π (C) 2 : π (D) π : 1

Q15. एक वृत्ताकार खेत की बाड़ (Fencing) लगाने का खर्च 12 रुपये प्रति मीटर की दर से 2640 रुपये है। खेत का क्षेत्रफल क्या है?

(A) 3850 (B) 3000 (C) 2460 (D) 15400

Q16. घड़ी की मिनट की सुई 7 सेमी लंबी है। 30 मिनट में यह कितना क्षेत्रफल तय करेगी?

(A) 77 (B) 154 (C) 38.5 (D) 44

Q17. चार समान वृत्तों (त्रिज्या a) को एक दूसरे को स्पर्श करते हुए रखा गया है। उनके बीच घिरे हुए भाग का क्षेत्रफल क्या है? (Standard Result)

(A) (4-π)a² (B) πa² (C) 2πa² (D) (2-π)a²

Q18. यदि दो संकेन्द्रित (Concentric) वृत्तों की परिधियां 88 सेमी और 132 सेमी हैं, तो उनके बीच के वलय (Ring) की चौड़ाई क्या है?

(A) 7 सेमी (B) 14 सेमी (C) 3.5 सेमी (D) 21 सेमी

Q19. एक समबाहु त्रिभुज के अंतःवृत्त (Incircle) की त्रिज्या क्या होगी यदि त्रिभुज की भुजा 42 सेमी है? (r = a/2√3)

(A) 7√3 (B) 14√3 (C) 21√3 (D) 7

Q20. एक वृत्त का क्षेत्रफल 616 वर्ग मी है। इसके बाहर 2 मीटर चौड़ा रास्ता है। रास्ते सहित कुल क्षेत्रफल क्या होगा?

(A) 804.57 (B) 616 (C) 750 (D) 1000

8. उत्तरमाला (Answer Key)

Q1. (B) 616 [r=7 → A=154. r=14 (2 गुना) → A=154×4=616]

Q2. (B) 44 सेमी [A=154 तो r=7. परिधि=44]

Q3. (B) 36 सेमी [d=14 तो r=7. अर्धवृत्त परिमाप = 36r/7 = 36×7/7 = 36. या πr+d = 22+14=36]

Q4. (B) 9:16 [क्षेत्रफल का अनुपात त्रिज्या के वर्ग के अनुपात में होता है: 3²:4² = 9:16]

Q5. (B) 154 [वर्ग A=121 → भुजा=11 → परिमाप=44. वृत्त की परिधि=44. यदि C=44, तो A=154]

Q6. (B) 500 [d=70cm, r=35cm. परिधि=220cm = 2.2m. चाल=66km/h = 1100m/min. चक्कर=1100/2.2 = 500]

Q7. (C) 21% [10 + 10 + (100/100) = 21%]

Q8. (A) 1078 [R=28, r=28-7=21. Area=π(28²-21²)=22/7×(49)(7)=22×49=1078]

Q9. (A) 231 [60/360 × 22/7 × 21 × 21 = 1/6 × 22 × 3 × 21 = 231]

Q10. (B) 7 सेमी [2πr - 2r = 30. 2r(π-1)=30. 2r(15/7)=30. r=7]

Q11. (A) 1056 मीटर [r=42cm. परिधि=2×22/7×42=264cm. 400 चक्कर=264×400=105600cm = 1056m]

Q12. (A) 22 [A=38.5 (154 का 1/4). तो r=7 का आधा=3.5. परिधि=44 का आधा=22]

Q13. (A) 25π [विकर्ण=√(8²+6²)=10. व्यास=10, त्रिज्या=5. क्षेत्रफल=π(5)²=25π]

Q14. (A) 1 : 2π [r : 2πr = 1 : 2π]

Q15. (A) 3850 [कुल खर्च/दर = परिधि. 2640/12 = 220. 2πr=220. 2×22/7×r=220. r=35. A=π(35)² = 3850]

Q16. (A) 77 [30 मिनट = आधा वृत्त. r=7. पूरे का 154, आधे का 77]

Q17. (A) (4-π)a² [वर्ग का क्षेत्रफल (2a)² - 4 वृत्त के चतुर्थांश (πa²)]

Q18. (A) 7 सेमी [2πR=132 → R=21. 2πr=88 → r=14. चौड़ाई = 21-14=7]

Q19. (A) 7√3 [r = 42 / 2√3 = 21/√3 = 7√3]

Q20. (A) 804.57 [A=616 → r=14. नया r=14+2=16. नया Area = 22/7 × 16 × 16 = 804.57]