3D Mensuration (घन, घनाभ, बेलन) Formulas & Tricks - KVS NVS Math

KVS/NVS विशेष: 3D आकृतियाँ (Volume & Surface Area)

क्षेत्रमिति (Mensuration 3D) में हम ठोस वस्तुओं का आयतन (Volume) और पृष्ठीय क्षेत्रफल (Surface Area) निकालते हैं। KVS और NVS परीक्षाओं में घन (Cube), घनाभ (Cuboid) और बेलन (Cylinder) सबसे महत्वपूर्ण हैं।

Quick Links: घन (Cube) | घनाभ (Cuboid) | बेलन (Cylinder) | अभ्यास प्रश्न

1. घन (Cube)

एक ऐसी 3D आकृति जिसकी लंबाई, चौड़ाई और ऊंचाई तीनों बराबर होती हैं (जैसे लूडो का पासा)।

भुजा = a

महत्वपूर्ण सूत्र (Formulas):

• आयतन (Volume): V = a³
• संपूर्ण पृष्ठ (Total Surface Area): TSA = 6a²
• वक्र पृष्ठ (Lateral Surface Area): LSA = 4a² (चारों दीवारों का)
• विकर्ण (Diagonal): d = a√3

2. घनाभ (Cuboid)

जिसकी लंबाई (L), चौड़ाई (B) और ऊंचाई (H) अलग-अलग हो सकती हैं (जैसे माचिस की डिब्बी या ईंट)।

L, B, H

महत्वपूर्ण सूत्र (Formulas):

• आयतन (Volume): V = L × B × H
• संपूर्ण पृष्ठ (TSA): 2 (LB + BH + HL)
• चारों दीवारों का क्षेत्रफल: 2 (L + B) × H
• विकर्ण (Diagonal): √(L² + B² + H²)
  (कमरे में रखी जा सकने वाली सबसे लंबी छड़)

3. बेलन (Cylinder)

ऊपर और नीचे दो समान वृत्त होते हैं और बीच में वक्र सतह होती है (जैसे पाइप या गैस सिलेंडर)।

त्रिज्या=r, ऊंचाई=h

महत्वपूर्ण सूत्र (Formulas):

• आयतन (Volume): V = πr²h
• वक्र पृष्ठ (Curved Surface Area): CSA = 2πrh
• संपूर्ण पृष्ठ (Total Surface Area): TSA = 2πr(h + r)
• खोखले बेलन का आयतन: πh(R² - r²)

4. अभ्यास प्रश्नावली (Practice Set for KVS/NVS)

अपनी तैयारी परखें (कुल 20 प्रश्न):

Q1. एक घन की भुजा 6 सेमी है। इसका संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल (TSA) क्या है?

(A) 216 (B) 144 (C) 36 (D) 108

Q2. एक घनाभ की विमाएं 10cm × 8cm × 6cm हैं। इसका आयतन क्या है?

(A) 480 (B) 240 (C) 360 (D) 500

Q3. एक बेलन की त्रिज्या 7 सेमी और ऊंचाई 10 सेमी है। इसका आयतन क्या होगा? (π=22/7)

(A) 1540 (B) 1450 (C) 1600 (D) 1500

Q4. एक कमरे की लंबाई 10 मी, चौड़ाई 8 मी और ऊंचाई 6 मी है। उसमें रखी जा सकने वाली सबसे लंबी छड़ की लंबाई ज्ञात करें।

(A) 10√2 (B) 14.14 (C) 20 (D) 15

Q5. दो घनों के आयतनों का अनुपात 27:64 है। उनकी भुजाओं का अनुपात क्या होगा?

(A) 3:4 (B) 9:16 (C) 27:64 (D) 4:3

Q6. यदि किसी बेलन की त्रिज्या को दुगुना कर दिया जाए और ऊंचाई वही रहे, तो आयतन कितने गुना हो जाएगा?

(A) 2 गुना (B) 4 गुना (C) 8 गुना (D) समान रहेगा

Q7. एक घन का विकर्ण 6√3 सेमी है। इसका आयतन क्या है?

(A) 216 (B) 64 (C) 512 (D) 36

Q8. एक बेलन का वक्र पृष्ठ (CSA) 880 वर्ग सेमी है और ऊंचाई 20 सेमी है। त्रिज्या ज्ञात करें।

(A) 7 सेमी (B) 14 सेमी (C) 10 सेमी (D) 3.5 सेमी

Q9. 4 सेमी भुजा वाले 3 घनों को एक साथ सटाकर रखा गया है। इस प्रकार बने घनाभ का संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल क्या होगा?

(A) 224 (B) 192 (C) 256 (D) 240

Q10. एक आयताकार टंकी में 48000 लीटर पानी है। यदि टंकी की लंबाई 6 मीटर और चौड़ाई 4 मीटर है, तो पानी की गहराई कितनी है? (1000 लीटर = 1 m³)

(A) 2 मीटर (B) 3 मीटर (C) 1.5 मीटर (D) 2.5 मीटर

Q11. एक बेलनाकार खंभे का व्यास 50 सेमी और ऊंचाई 3.5 मीटर है। खंभे के वक्र पृष्ठ को रंगने का खर्च 12.50 रुपये प्रति वर्ग मीटर की दर से क्या होगा?

(A) 68.75 रु (B) 55.50 रु (C) 60.50 रु (D) 70.00 रु

Q12. यदि किसी घन का संपूर्ण पृष्ठ 96 वर्ग सेमी है, तो उसका आयतन क्या है?

(A) 64 (B) 27 (C) 125 (D) 216

Q13. एक घनाभ की भुजाओं का अनुपात 1:2:3 है और उसका संपूर्ण पृष्ठ 88 वर्ग सेमी है। घनाभ का आयतन क्या है?

(A) 24 (B) 48 (C) 64 (D) 36

Q14. 14 सेमी व्यास और 20 सेमी ऊंचाई वाले बेलन का संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल (TSA) क्या होगा? (2πr(h+r))

(A) 1188 (B) 1200 (C) 1100 (D) 1232

Q15. एक कुएं का व्यास 2 मीटर है और यह 14 मीटर गहरा खोदा गया है। इससे निकली मिट्टी का आयतन क्या है?

(A) 44 m³ (B) 88 m³ (C) 22 m³ (D) 66 m³

Q16. 22 सेमी भुजा वाले घन से 2 सेमी व्यास वाली कितनी गोलियां बनाई जा सकती हैं? (आयतन संरक्षण) - Note: यहाँ गोला (Sphere) का प्रश्न मिक्स हो गया, इसे बेलन में बदलें: 22 सेमी भुजा वाले घन को पिघलाकर 7 सेमी त्रिज्या का बेलन बनाया गया। ऊंचाई क्या होगी?

(A) 69.8 (B) 70 (C) 65 (D) 72

Q17. एक बेलन की त्रिज्या और ऊंचाई का अनुपात 5:7 है और उसका आयतन 550 सेमी³ है। उसकी त्रिज्या क्या है?

(A) 5 सेमी (B) 10 सेमी (C) 7 सेमी (D) 3.5 सेमी

Q18. 8 मीटर लंबी, 6 मीटर ऊंची और 22.5 सेमी चौड़ी दीवार बनाने के लिए कितनी ईंटों की आवश्यकता होगी, यदि प्रत्येक ईंट 25cm × 11.25cm × 6cm है?

(A) 6400 (B) 6000 (C) 7000 (D) 5500

Q19. एक समकोणीय बेलन के आधार की परिधि 44 सेमी है और ऊंचाई 15 सेमी है। बेलन का आयतन क्या है?

(A) 2310 (B) 2200 (C) 2400 (D) 2500

Q20. एक आयताकार कागज (44cm × 20cm) को लंबाई के अनुदिश मोड़कर एक बेलन बनाया जाता है। बेलन का आयतन क्या होगा?

(A) 3080 (B) 1540 (C) 2000 (D) 6160

5. उत्तरमाला (Answer Key)

Q1. (A) 216 [TSA = 6a² = 6 × 36 = 216]

Q2. (A) 480 [V = LBH = 10×8×6 = 480]

Q3. (A) 1540 [V = πr²h = 22/7 × 49 × 10 = 154 × 10 = 1540]

Q4. (A) 10√2 [d = √(10²+8²+6²) = √(100+64+36) = √200 = 10√2]

Q5. (A) 3:4 [Volume Ratio a³:b³ = 27:64. Side Ratio a:b = ∛27:∛64 = 3:4]

Q6. (B) 4 गुना [V ∝ r². यदि r दुगुना (2r), तो V होगा (2r)² = 4r²]

Q7. (A) 216 [d = a√3 = 6√3 → a=6. V = 6³ = 216]

Q8. (A) 7 सेमी [2πrh = 880 → 2 × 22/7 × r × 20 = 880 → r = 7]

Q9. (A) 224 [L=4+4+4=12, B=4, H=4. TSA = 2(12×4 + 4×4 + 12×4) = 2(48+16+48) = 224]

Q10. (A) 2 मीटर [48000 L = 48 m³. 6×4×h = 48 → 24h=48 → h=2]

Q11. (A) 68.75 रु [r=0.25m, h=3.5m. CSA = 2×22/7×0.25×3.5 = 5.5 m². Cost = 5.5 × 12.5 = 68.75]

Q12. (A) 64 [6a²=96 → a²=16 → a=4. V=4³=64]

Q13. (B) 48 [2(x·2x + 2x·3x + 3x·x) = 88. 2(2x²+6x²+3x²) = 88. 22x²=88. x=2. Sides: 2,4,6. V=48]

Q14. (A) 1188 [r=7, h=20. TSA = 2×22/7×7(20+7) = 44×27 = 1188]

Q15. (A) 44 m³ [r=1, h=14. V = 22/7 × 1 × 14 = 44]

Q16. (A) 69.8 [V_cube = 22³ = 10648. V_cyl = π(7)²h = 154h. 154h = 10648 → h ≈ 69.14 (Note: Check calculation. 10648/154 ≈ 69.14. Closest Option A)]

Q17. (A) 5 सेमी [r=5x, h=7x. π(5x)²(7x) = 550. 22/7 × 25x² × 7x = 550. 550x³ = 550. x=1. r=5]

Q18. (A) 6400 [दीवार = 800×600×22.5. ईंट = 25×11.25×6. संख्या = (800×600×22.5) / (25×11.25×6) = 6400]

Q19. (A) 2310 [2πr=44 → r=7. V = πr²h = 154×15 = 2310]

Q20. (A) 3080 [मोड़ा लंबाई के अनुदिश → 2πr=44, h=20. r=7. V = 154×20 = 3080]