2. अर्धगोला (Hemisphere)
जब एक ठोस गोले को बीच से काटा जाता है, तो अर्धगोला बनता है। इसमें एक वक्र सतह (Curved) और एक समतल सतह (ऊपर का वृत्त) होती है।
सावधानी: परीक्षा में अगर 'ठोस अर्धगोले का संपूर्ण पृष्ठ' पूछा जाए, तो हमेशा 3πr² का प्रयोग करें।
3. अनुपात का नियम (Ratio Trick)
KVS/NVS में तुलना वाले प्रश्न बहुत आते हैं।
उदाहरण: यदि त्रिज्या दुगनी (1:2) कर दी जाए, तो आयतन 8 गुना (1³:2³ = 1:8) हो जाएगा।
5. अभ्यास प्रश्नावली (Practice Set for KVS/NVS)
अपनी तैयारी परखें (कुल 20 प्रश्न):
Q1. यदि एक गोले की त्रिज्या 3 सेमी है, तो उसका पृष्ठीय क्षेत्रफल (Surface Area) क्या होगा? (π=22/7)
(A) 36π
(B) 18π
(C) 9π
(D) 27π
Q2. एक अर्धगोले (Hemisphere) की त्रिज्या 7 सेमी है। इसका संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल (TSA) क्या है?
(A) 154
(B) 308
(C) 462
(D) 616
Q3. दो गोलों की त्रिज्याओं का अनुपात 2:3 है। उनके आयतनों का अनुपात क्या होगा?
(A) 4:9
(B) 8:27
(C) 2:3
(D) 16:81
Q4. एक गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल 616 वर्ग सेमी है। इसकी त्रिज्या क्या है?
(A) 7 सेमी
(B) 14 सेमी
(C) 3.5 सेमी
(D) 10.5 सेमी
Q5. यदि किसी गोले की त्रिज्या को दुगुना कर दिया जाए, तो उसका आयतन कितने गुना हो जाएगा?
(A) 2 गुना
(B) 4 गुना
(C) 8 गुना
(D) 16 गुना
Q6. 6 सेमी त्रिज्या वाले एक ठोस गोले को पिघलाकर 2 सेमी त्रिज्या वाली कितनी छोटी गोलियां बनाई जा सकती हैं? (V1/V2)
(A) 8
(B) 27
(C) 36
(D) 216
Q7. एक गोले का आयतन 4851 cm³ है। इसकी त्रिज्या क्या है? (Use π=22/7)
(A) 10.5
(B) 7
(C) 21
(D) 14
Q8. एक अर्धगोले का आयतन 19404 cm³ है। इसकी त्रिज्या ज्ञात करें।
(A) 14
(B) 21
(C) 28
(D) 10.5
Q9. यदि किसी गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन का मान (संख्यात्मक रूप से) बराबर हो, तो त्रिज्या क्या है?
(A) 1 इकाई
(B) 2 इकाई
(C) 3 इकाई
(D) 4 इकाई
Q10. एक खोखले गोले (Spherical Shell) की बाहरी त्रिज्या 5 सेमी और भीतरी त्रिज्या 3 सेमी है। इसमें लगी धातु का आयतन क्या है? (4/3π(R³-r³))
(A) 98π/3
(B) 392π/3
(C) 296π/3
(D) 100π
Q11. किसी गोले की त्रिज्या में 50% की वृद्धि की जाती है। उसके पृष्ठीय क्षेत्रफल में कितने प्रतिशत की वृद्धि होगी? (Net% Formula)
(A) 100%
(B) 125%
(C) 50%
(D) 75%
Q12. एक बेलन और एक गोले की त्रिज्या और आयतन बराबर हैं। बेलन की ऊंचाई और व्यास का अनुपात क्या है?
(A) 2:3
(B) 3:2
(C) 4:3
(D) 3:4
Q13. 10.5 सेमी त्रिज्या वाले गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल क्या है?
(A) 1386
(B) 616
(C) 1200
(D) 1400
Q14. 3 सेमी, 4 सेमी और 5 सेमी त्रिज्या वाले तीन धातु के गोलों को पिघलाकर एक बड़ा गोला बनाया गया है। नए गोले की त्रिज्या क्या है? (3³+4³+5³ = R³)
(A) 6 सेमी
(B) 8 सेमी
(C) 12 सेमी
(D) 10 सेमी
Q15. एक गोले के वक्र पृष्ठ और आयतन का अनुपात 1:7 है। गोले की त्रिज्या क्या है? (Note: प्रश्न में 'वक्र पृष्ठ' का मतलब संपूर्ण पृष्ठ ही है गोले के लिए)
(A) 21 इकाई
(B) 14 इकाई
(C) 7 इकाई
(D) 28 इकाई
Q16. चंद्रमा का व्यास पृथ्वी के व्यास का लगभग 1/4 है। उनके पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात क्या है?
(A) 1:4
(B) 1:8
(C) 1:16
(D) 1:64
Q17. एक अर्धगोलाकार कटोरे की आंतरिक त्रिज्या 9 सेमी है। इसमें भरे पानी को 3 सेमी व्यास और 4 सेमी ऊंचाई वाली बेलनाकार बोतलों में भरना है। कितनी बोतलों की आवश्यकता होगी?
(A) 54
(B) 48
(C) 60
(D) 72
Q18. यदि गोले का आयतन V है और पृष्ठीय क्षेत्रफल S है, तो S³/V² का मान क्या होगा? (स्थिरांक प्रश्न)
(A) 36π
(B) 9π
(C) 18π
(D) 27π
Q19. एक अर्धगोले और एक शंकु के आधार समान हैं और ऊंचाई समान हैं। उनके वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात क्या है? (r = h, l = r√2)
(A) 1:√2
(B) √2:1
(C) 1:2
(D) 2:1
Q20. एक गोले का आयतन 88/21 × (14)³ है। गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करें।
(A) 2464
(B) 2400
(C) 2200
(D) 2500
6. उत्तरमाला (Answer Key)
Q1. (A) 36π [SA = 4πr² = 4π(3)² = 36π]
Q2. (C) 462 [Hemisphere TSA = 3πr² = 3 × 22/7 × 49 = 3 × 154 = 462]
Q3. (B) 8:27 [Ratio of Volume = r₁³ : r₂³ = 2³ : 3³ = 8:27]
Q4. (A) 7 सेमी [4πr² = 616. r² = (616×7)/(4×22) = 49. r=7]
Q5. (C) 8 गुना [r → 2r. Volume → (2)³ = 8 गुना]
Q6. (B) 27 [n = R³/r³ = 6³/2³ = 216/8 = 27]
Q7. (A) 10.5 [4/3πr³ = 4851. हल करने पर r = 10.5]
Q8. (B) 21 [2/3πr³ = 19404. r³ = 9261. r=21]
Q9. (C) 3 इकाई [4πr² = 4/3πr³. 1 = r/3. r=3]
Q10. (B) 392π/3 [4/3π(5³-3³) = 4/3π(125-27) = 4/3π(98) = 392π/3]
Q11. (B) 125% [Net% = 50+50+(2500/100) = 100+25 = 125%]
Q12. (A) 2:3 [πr²h = 4/3πr³. h = 4/3r. h/d = h/2r = (4/3r)/2r = 2/3]
Q13. (A) 1386 [r=10.5 (7 का 1.5 गुना). Area 154 का (1.5)² = 2.25 गुना. 154×2.25=346.5? No. Calculation: 4×22/7×10.5×10.5 = 1386]
Q14. (A) 6 सेमी [3³+4³+5³ = 27+64+125=216. ∛216 = 6]
Q15. (A) 21 इकाई [Area/Vol = 1/7. 4πr² / (4/3πr³) = 1/7. 3/r = 1/7. r=21]
Q16. (C) 1:16 [D_ratio = 1:4. Area ratio = (1)²:(4)² = 1:16]
Q17. (A) 54 [Bowl Vol = 2/3π(9)³ = 486π. Bottle Vol = π(1.5)²(4) = 9π. N = 486/9 = 54]
Q18. (A) 36π [S=4πr², V=4/3πr³. S³=(64π³r⁶). V²=(16/9π²r⁶). Divide = 36π]
Q19. (B) √2:1 [Hemi CSA = 2πr². Cone CSA = πrl = πr(r√2) (since h=r). Ratio 2πr² : πr²√2 = 2:√2 = √2:1]
Q20. (A) 2464 [Vol = 4/3πr³. Given Vol matches r=14 formula structure. So r=14. SA = 4π(14)² = 616×4 = 2464]
