Basic Algebra (बीजगणित): All Identities, Formulas & 20 Important Questions | KVS NVS Special

Basic Algebra: बीजगणित सर्वसमिकाएं (Identities)

बीजगणित (Algebra) गणित की वह शाखा है जहाँ हम संख्याओं की जगह अक्षरों (Variables like x, y, z) का प्रयोग करते हैं। सर्वसमिका (Identity) एक ऐसा समीकरण है जो चर (variable) के सभी मानों के लिए सत्य होता है।

Quick Navigation: वर्ग (Square) | घन (Cube) | Conditional | Tricks | 20 प्रश्न

1. वर्ग सर्वसमिकाएं (Square Identities)

ये सबसे बेसिक फॉर्मूले हैं जो हर जगह इस्तेमाल होते हैं।

(a + b)² का ज्यामितीय अर्थ

कल्पना करें एक वर्ग जिसकी भुजा (a + b) है। इसका क्षेत्रफल होगा (a + b)²।

इसे 4 भागों में बांटा जा सकता है:

• एक बड़ा वर्ग (a²)
• एक छोटा वर्ग (b²)
• दो आयत (a × b और b × a)

कुल योग = a² + b² + 2ab

Standard Formula 1

(a + b)² = a² + b² + 2ab

Standard Formula 2

(a - b)² = a² + b² - 2ab

Difference of Squares

a² - b² = (a + b)(a - b)

Trinomial Square

(a+b+c)² = a²+b²+c² + 2(ab+bc+ca)

2. घन सर्वसमिकाएं (Cubic Identities)

जब घात (Power) 3 हो, तो ये सूत्र काम आते हैं।

Whole Cube (+)

(a + b)³ = a³ + b³ + 3ab(a + b)

Whole Cube (-)

(a - b)³ = a³ - b³ - 3ab(a - b)

Sum of Cubes

a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)

Note: यहाँ मध्य पद (-ab) होता है।

Diff of Cubes

a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)

Note: यहाँ सारे पद धनात्मक होते हैं।

3. सबसे महत्वपूर्ण सर्वसमिका (The Master Identity)

SSC और KVS परीक्षाओं में सबसे ज्यादा प्रश्न इसी सूत्र से पूछे जाते हैं।

a³ + b³ + c³ - 3abc = (a+b+c)(a² + b² + c² - ab - bc - ca)

Conditional Trick:
यदि a + b + c = 0 हो जाए,
तो दायां पक्ष (RHS) शून्य हो जाएगा।
परिणाम: a³ + b³ + c³ = 3abc

4. x + 1/x वाली ट्रिक्स (Exam Hacks)

प्रतियोगी परीक्षाओं के लिए समय बचाने वाली ट्रिक्स:

यदि दिया है (Given)	तो मान होगा (Result)
x + 1/x = K	x² + 1/x² = K² - 2
x - 1/x = K	x² + 1/x² = K² + 2
x + 1/x = K	x³ + 1/x³ = K³ - 3K
x - 1/x = K	x³ - 1/x³ = K³ + 3K

5. अभ्यास प्रश्नावली (20 Questions Practice Set)

Basic से Advanced लेवल तक के प्रश्न।

Q1 (x + 8)(x + 8) का विस्तार क्या है?

(A) x² + 64(B) x² + 16x + 64

Q2 98² का मान सर्वसमिका का उपयोग करके निकालें।

(A) 9604(B) 9600

Q3 4x² - 9y² के गुणनखंड (Factors) क्या हैं?

(A) (2x-3y)²(B) (2x+3y)(2x-3y)

Q4 यदि x + y = 10 और xy = 21 है, तो x² + y² का मान क्या होगा?

(A) 58(B) 100

Q5 (2a - 3b)² का विस्तार करें।

(C) 4a² + 9b² - 12ab(D) 2a² - 3b²

Q6 यदि x + 1/x = 4 है, तो x² + 1/x² का मान क्या है?

(A) 16(B) 14

Q7 यदि x - 1/x = 5 है, तो x³ - 1/x³ का मान क्या है?

(C) 140(D) 115

Q8 103 × 103 × 103 का मान बिना सीधा गुणा किये निकालें।

(A) 1092727(B) 1060900

Q9 a³ + b³ का मान क्या होगा यदि a+b=4 और ab=3?

(A) 28(B) 64

Q10 (x - 2y)³ का विस्तार क्या है?

(A) x³ - 8y³ - 6x²y + 12xy²(B) x³ - 8y³ - 6xy

(शेष प्रश्नों के लिए नीचे उत्तरमाला देखें)

6. उत्तरमाला (Detailed Solutions)

Q1. (B) (x+8)² = x² + 2(x)(8) + 8² = x² + 16x + 64.

Q2. (A) 98² = (100-2)² = 10000 - 400 + 4 = 9604.

Q3. (B) a²-b² फॉर्मूला: (2x)² - (3y)² = (2x+3y)(2x-3y).

Q4. (A) (x+y)² = x²+y²+2xy → 100 = x²+y² + 42 → x²+y² = 58.

Q5. (C) (2a-3b)² = 4a² + 9b² - 2(2a)(3b) = 4a²+9b²-12ab.

Q6. (B) k² - 2 वाली ट्रिक: 4² - 2 = 16 - 2 = 14.

Q7. (C) k³ + 3k वाली ट्रिक: 5³ + 3(5) = 125 + 15 = 140.

Q8. (A) (100+3)³ = 1000000 + 27 + 3(300)(103) = 1092727.

Q9. (A) a³+b³ = (a+b)(a²+b²-ab). पहले a²+b² = 16-6=10. उत्तर: 4(10-3) = 28.

Q10. (A) (a-b)³ = a³-b³-3a²b+3ab². यहाँ b=2y है।

Q11. (A) (a+b+c)² = Σa² + 2Σab → 81 = Σa² + 2(26) → Σa² = 81 - 52 = 29.

Q12. (A) ऐसी संख्याएं जिनका गुणा 6 हो और योग 5 हो (2 और 3)।

Q13. (B) (5x)² + (7y)² + 2(5x)(7y). यह (5x+7y)² है।

Q14. (A) x² + (4+10)x + 40 = x² + 14x + 40.

Q15. (B) (x+1/x)² = 23 + 2 = 25. वर्गमूल = 5.

Q16. (C) LCM = abc. अंश = a³+b³+c³. यदि a+b+c=0 तो a³+b³+c³=3abc. 3abc/abc = 3.

Q17. (D) (x²)² - (y²)² = (x²+y²)(x²-y²). इसे और तोड़ें तो (x-y)(x+y) भी आएगा।

Q18. (C) 11 + (-5) + (-6) = 0. इसलिए व्यंजक का मान 0 होगा।

Q19. (A) अंतिम पद b² होता है। 3² = 09.

Q20. (A) a=2x, b=3y. (2x+3y)³.