Triangle Properties (त्रिभुज के गुण): Concepts, Tricks & 25 Questions | KVS NVS Special

KVS/NVS विशेष: त्रिभुज के गुण (Properties of Triangles)

रेखा और कोण (Lines and Angles) में त्रिभुज सबसे महत्वपूर्ण आकृति है। KVS और NVS परीक्षाओं में त्रिभुज के कोणों (Angles) और भुजाओं (Sides) के संबंधों पर सीधे प्रश्न पूछे जाते हैं। आइए इसे आसान भाषा में समझें।

∠A + ∠B + ∠C = 180°

Bahr (z) = x + y

Quick Links: योग नियम | बहिष्कोण | भुजा नियम | 25 प्रश्न (Mock)

1. कोण योग गुण (Angle Sum Property)

किसी भी त्रिभुज (चाहे छोटा हो या बड़ा) के तीनों अन्तः कोणों का योग हमेशा 180° होता है।

Ratio Trick:
अगर कोणों का अनुपात a:b:c दिया हो, तो:
1 यूनिट = 180 / (a+b+c)
उदाहरण: 2:3:4 → 2+3+4=9 → 180/9 = 20° (1 यूनिट)

2. बहिष्कोण गुण (Exterior Angle Property)

जब त्रिभुज की किसी एक भुजा को आगे बढ़ाया जाता है, तो बना बाहरी कोण (Exterior Angle) दो विपरीत अन्तः कोणों (Interior Opposite Angles) के योग के बराबर होता है।

सूत्र:

Exterior ∠ = ∠A + ∠B

उदाहरण: यदि अंदर के दो कोण 50° और 60° हैं, तो बाहर का कोण 110° होगा।

3. भुजाओं का नियम (Triangle Inequality)

क्या कोई भी तीन डंडियों से त्रिभुज बन सकता है? नहीं! इसके नियम हैं:

त्रिभुज बनने की शर्त:

• किन्हीं दो भुजाओं का योग (Sum) तीसरी भुजा से बड़ा होना चाहिए। (a + b > c)
• किन्हीं दो भुजाओं का अंतर (Diff) तीसरी भुजा से छोटा होना चाहिए। (a - b < c)

Note: बड़ी भुजा के सामने का कोण बड़ा होता है और छोटी भुजा के सामने का कोण छोटा होता है।

4. विशेष त्रिभुज (Special Triangles)

• समबाहु (Equilateral): तीनों भुजाएं बराबर, तीनों कोण 60°।
• समद्विबाहु (Isosceles): दो भुजाएं बराबर, तो उनके आमने-सामने के कोण भी बराबर।
• समकोण (Right Angled): एक कोण 90°, बाकी दो का योग 90°। (पाइथागोरस: H² = P² + B²)

5. हल सहित उदाहरण (Solved Examples)

उदाहरण 1: एक त्रिभुज के कोण 2x, 3x और 4x हैं। सबसे बड़ा कोण ज्ञात करें।

हल:
2x + 3x + 4x = 180°
9x = 180° → x = 20°
सबसे बड़ा कोण = 4x = 4 × 20 = 80°

उदाहरण 2: एक समद्विबाहु त्रिभुज (Isosceles) में, असमान कोण 40° है। समान कोणों की माप क्या है?

हल:
माना समान कोण x हैं।
x + x + 40 = 180
2x = 140 → x = 70°

6. अभ्यास प्रश्नावली (Practice Set)

KVS/NVS/CTET पैटर्न पर आधारित प्रश्न:

Q1. त्रिभुज के तीनों कोणों का योग कितना होता है?

(A) 90°(B) 180°(C) 360°(D) 270°

Q2. यदि त्रिभुज के दो कोण 60° और 45° हैं, तो तीसरा कोण है:

(A) 75°(B) 85°(C) 65°(D) 95°

Q3. एक त्रिभुज के कोणों का अनुपात 1:2:3 है। सबसे बड़ा कोण क्या है?

(A) 60°(B) 90°(C) 120°(D) 30°

Q4. समकोण त्रिभुज में यदि एक कोण 35° है, तो दूसरा न्यूनकोण क्या होगा?

(A) 65°(B) 45°(C) 55°(D) 35°

Q5. क्या इन भुजाओं से त्रिभुज बन सकता है: 2cm, 3cm, 5cm?

(A) हाँ(B) नहीं (2+3 = 5, बड़ा नहीं है)(C) शायद(D) जानकारी अधूरी

Q6. किसी त्रिभुज का एक बहिष्कोण 110° है और अंतः अभिमुख कोण 30° है। दूसरा अंतः अभिमुख कोण क्या है?

(A) 80°(B) 140°(C) 70°(D) 60°

Q7. समबाहु त्रिभुज (Equilateral) का प्रत्येक बहिष्कोण कितना होता है?

(A) 60°(B) 90°(C) 120°(D) 180°

Q8. एक समद्विबाहु त्रिभुज में आधार के कोण (base angles) 50° हैं। शीर्ष कोण (vertical angle) ज्ञात करें।

(A) 50°(B) 100°(C) 80°(D) 130°

Q9. यदि 3x, 4x, और 2x एक त्रिभुज के कोण हैं, तो x का मान है:

(A) 10(B) 20(C) 30(D) 15

Q10. किसी त्रिभुज में कम से कम कितने न्यून कोण (Acute angles) होने चाहिए?

(A) 1(B) 2(C) 3(D) 0

Q11. निम्नलिखित में से कौन सी भुजाएं एक त्रिभुज बना सकती हैं?

(A) 3, 4, 8(B) 3, 5, 7(C) 2, 2, 4(D) 5, 6, 12

Q12. त्रिभुज ABC में, यदि ∠A = 60° और ∠B = 70° है, तो सबसे छोटी भुजा कौन सी है?

(A) AB(B) BC (क्योंकि ∠A छोटा है)(C) AC(D) ज्ञात नहीं कर सकते

Q13. एक त्रिभुज में कोणों का योग 180° होता है, यह किसने सिद्ध किया? (GK)

(A) पाइथागोरस(B) यूक्लिड(C) रामानुजन(D) थेल्स

Q14. यदि एक त्रिभुज का बहिष्कोण 120° है और अंतः विपरीत कोणों का अनुपात 2:3 है, तो कोण ज्ञात करें।

(A) 48°, 72°(B) 40°, 60°(C) 50°, 70°(D) 20°, 30°

Q15. एक समकोण त्रिभुज में कर्ण (Hypotenuse) सबसे ______ भुजा होती है।

(A) छोटी(B) बड़ी(C) बराबर(D) इनमें से कोई नहीं

Q16. यदि 2∠A = 3∠B = 6∠C है, तो ∠B का मान क्या है?

(A) 90°(B) 60°(C) 30°(D) 45°

Q17. एक त्रिभुज ABC में, यदि ∠A + ∠B = 100° और ∠B + ∠C = 130° है, तो ∠B क्या है?

(A) 50°(B) 40°(C) 80°(D) 60°

Q18. किसी त्रिभुज का एक कोण 100° है। अन्य दो कोणों के समद्विभाजक (Bisectors) के बीच का कोण क्या होगा? (Formula: 90 + A/2)

(A) 140°(B) 130°(C) 100°(D) 80°

Q19. त्रिभुज की भुजाएं पूर्णांक हैं। परिमाप 12 है। कितने त्रिभुज संभव हैं? (Tricky)

(A) 1(B) 2(C) 3 (3,4,5 / 4,4,4 / 5,5,2)(D) 4

Q20. एक त्रिभुज में, कोण (x+10)°, (2x-30)° और x° हैं। x का मान ज्ञात करें।

(A) 50(B) 40(C) 60(D) 30

Q21. सबसे बड़ा संभव बहिष्कोण किसी समबहुभुज का 120° है, वह आकृति क्या है?

(A) वर्ग(B) समबाहु त्रिभुज(C) षट्भुज(D) अष्टभुज

Q22. त्रिभुज के तीनों बहिष्कोणों (Exterior Angles) का योग कितना होता है?

(A) 180°(B) 270°(C) 360°(D) 540°

Q23. यदि किसी त्रिभुज में दो भुजाओं की लंबाई 4 सेमी और 10 सेमी है, तो तीसरी भुजा (a) की लंबाई हो सकती है:

(A) a > 6(B) a < 14(C) 6 < a < 14(D) उपरोक्त सभी

Q24. वह त्रिभुज जिसका कोई भी कोण 90° से अधिक हो, कहलाता है:

(A) न्यूनकोण(B) अधिककोण(C) समकोण(D) समद्विबाहु

Q25. एक त्रिभुज ABC में, ∠A = x, ∠B = 2x, ∠C = 3x. सबसे छोटी भुजा किसके सामने है?

(A) ∠A(B) ∠B(C) ∠C(D) AB

7. उत्तरमाला (Answer Key)

Q1. (B) 180°

Q2. (A) 75° [180-(60+45)]

Q3. (B) 90° [1+2+3=6. 180/6=30. 3×30=90]

Q4. (C) 55° [90-35=55]

Q5. (B) नहीं [2+3=5, जो तीसरी भुजा से बड़ा नहीं है]

Q6. (A) 80° [110-30=80]

Q7. (C) 120° [180-60=120]

Q8. (C) 80° [180-(50+50)=80]

Q9. (B) 20 [9x=180 -> x=20]

Q10. (B) 2 [कम से कम दो न्यूनकोण होने ही चाहिए]

Q11. (B) 3, 5, 7 [3+5 > 7 सही है]

Q12. (B) BC [सबसे छोटे कोण A(60°) के सामने BC है]

Q13. (B) यूक्लिड

Q14. (A) 48°, 72° [2x+3x=120 -> 5x=120 -> x=24. 2x=48]

Q15. (B) बड़ी [90° सबसे बड़ा कोण है]

Q16. (B) 60° [LCM of 2,3,6 is 6. A:B:C = 3:2:1. Angle B = 2/6 * 180 = 60]

Q17. (A) 50° [(A+B)+(B+C)=230. A+B+C=180. B = 230-180=50]

Q18. (A) 140° [90 + 100/2 = 90+50=140]

Q19. (C) 3 [संभव सेट: (3,4,5), (4,4,4), (5,5,2)]

Q20. (A) 50 [4x-20=180 -> 4x=200 -> x=50]

Q21. (B) समबाहु त्रिभुज [360/n = Ext Angle. Max Ext when n is min (3)]

Q22. (C) 360°

Q23. (D) उपरोक्त सभी [10-4 < a < 10+4 -> 6 < a < 14]

Q24. (B) अधिककोण (Obtuse)

Q25. (A) ∠A [x सबसे छोटा है, उसके सामने की भुजा सबसे छोटी होगी]