Natural & Whole Numbers (प्राकृत और पूर्ण संख्याएं) - KVS/NVS Math Notes & Tricks

KVS/NVS विशेष: प्राकृत एवं पूर्ण संख्याएं

केन्द्रीय विद्यालय (KVS) और नवोदय विद्यालय (NVS) की परीक्षाओं में 'संख्यात्मक क्षमता' (Numeric Ability) का आधार संख्या पद्धति (Number System) है। आज के इस विस्तृत लेख में हम प्राकृत और पूर्ण संख्याओं को गहराई से समझेंगे।

विषय सूची (Quick Links)

परिचय प्राकृत संख्याएं पूर्ण संख्याएं तुलनात्मक चार्ट गुणधर्म महत्वपूर्ण सूत्र हल सहित उदाहरण 20 अभ्यास प्रश्न उत्तरमाला

1. संख्या पद्धति का परिचय

गणित की भाषा अंकों से शुरू होती है। जब हम वस्तुओं को गिनना शुरू करते हैं, तो हम 1, 2, 3... का प्रयोग करते हैं। समय के साथ, गणितज्ञों ने शून्य (0) को जोड़ा और संख्याओं का विस्तार हुआ। KVS/NVS परीक्षाओं में प्रश्न सीधे परिभाषाओं और उनके अनुप्रयोगों (Application) से पूछे जाते हैं।

2. प्राकृत संख्याएं (Natural Numbers)

वे संख्याएं जिनका प्रयोग हम प्रकृति में मौजूद वस्तुओं को गिनने (Counting) के लिए करते हैं, प्राकृत संख्याएं कहलाती हैं।

प्रतीक: इसे 'N' से दर्शाया जाता है。
समुच्चय: N = {1, 2, 3, 4, 5, ....... ∞}

मुख्य विशेषताएं:

• सबसे छोटी प्राकृत संख्या: 1 है।
• सबसे बड़ी प्राकृत संख्या: अनंत (Infinity) है।
• प्राकृत संख्याओं में 0 (शून्य) और ऋणात्मक (Negative) संख्याएं शामिल नहीं होतीं।

3. पूर्ण संख्याएं (Whole Numbers)

जब हम प्राकृत संख्याओं के परिवार में शून्य (0) को भी शामिल कर लेते हैं, तो वह परिवार 'पूर्ण संख्याओं' का परिवार बन जाता है।

प्रतीक: इसे 'W' से दर्शाया जाता है。
समुच्चय: W = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ....... ∞}

मुख्य विशेषताएं:

• सबसे छोटी पूर्ण संख्या: 0 है।
• सभी प्राकृत संख्याएं, पूर्ण संख्याएं होती हैं।

4. प्राकृत vs पूर्ण संख्या: तुलनात्मक चार्ट

गुण (Feature)	प्राकृत संख्या (Natural No.)	पूर्ण संख्या (Whole No.)
शुरुआत	1 से	0 से
सबसे छोटी संख्या	1	0
शून्य (0)	शामिल नहीं	शामिल है

5. महत्वपूर्ण गुणधर्म (Properties)

• संवरक गुण (Closure): दो पूर्ण संख्याओं का योग और गुणन हमेशा पूर्ण संख्या होता है। (जैसे: 2 + 3 = 5)
• क्रमविनिमेय (Commutative): संख्याओं का क्रम बदलने पर योग और गुणा में परिणाम नहीं बदलता। (A + B = B + A)

6. परीक्षा उपयोगी सूत्र (Important Formulas)

प्रश्नों को तेजी से हल करने के लिए इन सूत्रों को याद रखें:

1. प्रथम n प्राकृत संख्याओं का योग:

Sum =

n(n + 1) 2

2. प्रथम n सम (Even) संख्याओं का योग:

Sum = n(n + 1)

3. प्रथम n विषम (Odd) संख्याओं का योग:

Sum = n²

4. प्रथम n प्राकृत संख्याओं के वर्गों का योग:

Sum =

n(n + 1)(2n + 1) 6

7. हल सहित उदाहरण (Solved Examples)

उदाहरण 1: 1 से 50 तक की सभी प्राकृत संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए।

हल: यहाँ n = 50 है।
सूत्र: n(n+1)/2
= 50(50+1) / 2
= 25 × 51
= 1275

उदाहरण 2: प्रथम 20 विषम संख्याओं का योग क्या होगा?

हल: विषम संख्याओं का योग = n²
n = 20
योग = (20)² = 400

8. अभ्यास प्रश्नावली (Practice Set for KVS/NVS)

स्वयं को परखें (कुल 20 प्रश्न):

Q1. सबसे छोटी पूर्ण संख्या और सबसे छोटी प्राकृत संख्या का अंतर क्या है?

(A) 0 (B) 1 (C) -1 (D) परिभाषित नहीं

Q2. प्रथम 10 प्राकृत संख्याओं का योग क्या है?

(A) 50 (B) 55 (C) 45 (D) 60

Q3. निम्नलिखित में से कौन सा कथन सत्य है?

(A) सभी पूर्ण संख्याएं प्राकृत संख्याएं हैं। (B) सभी प्राकृत संख्याएं पूर्ण संख्याएं हैं। (C) सबसे छोटी पूर्ण संख्या 1 है। (D) सबसे बड़ी प्राकृत संख्या 1 करोड़ है।

Q4. संख्या 5320 में 3 का स्थानीय मान (Place Value) और अंकित मान (Face Value) का अंतर है:

(A) 297 (B) 303 (C) 0 (D) 300

Q5. प्रथम 15 विषम (Odd) प्राकृत संख्याओं का योग क्या होगा?

(A) 225 (B) 250 (C) 150 (D) 325

Q6. यदि a और b दो पूर्ण संख्याएं हैं, तो क्या (a - b) हमेशा एक पूर्ण संख्या होगी?

(A) हाँ (B) नहीं (C) केवल यदि a = b (D) कहा नहीं जा सकता

Q7. 1² + 2² + 3² + ..... + 10² का मान ज्ञात करें।

(A) 385 (B) 5050 (C) 225 (D) 1000

Q8. संख्या 1 से 100 तक कितनी बार अंक '9' आता है?

(A) 10 (B) 19 (C) 20 (D) 21

Q9. 3 अंकों की सबसे बड़ी और 4 अंकों की सबसे छोटी संख्या का योग है:

(A) 1999 (B) 1099 (C) 1000 (D) 9999

Q10. किसी संख्या की 'परवर्ती' (Successor) संख्या कैसे प्राप्त होती है?

(A) 1 घटाकर (B) 1 जोड़कर (C) 0 जोड़कर (D) 2 से गुणा करके

Q11. 1 + 2 + 3 + .... + 20 का मान है:

(A) 190 (B) 210 (C) 200 (D) 400

Q12. पूर्ण संख्याओं के लिए योग का तत्समक (Additive Identity) अवयव क्या है?

(A) 1 (B) 0 (C) -1 (D) 2

Q13. पूर्ण संख्याओं के लिए गुणन का तत्समक (Multiplicative Identity) अवयव क्या है?

(A) 1 (B) 0 (C) ∞ (D) कोई नहीं

Q14. प्रथम 5 अभाज्य (Prime) संख्याओं का योग क्या है?

(A) 25 (B) 28 (C) 18 (D) 26

Q15. (101 × 101) - (99 × 99) का मान क्या होगा? (सूत्र a²-b² का प्रयोग करें)

(A) 400 (B) 200 (C) 396 (D) 4000

Q16. वह सबसे छोटी संख्या जिसे 12, 15 और 20 से विभाजित करने पर शेषफल 0 बचे?

(A) 40 (B) 60 (C) 120 (D) 30

Q17. 1 से 100 के बीच कुल कितनी अभाज्य संख्याएं (Prime Numbers) हैं?

(A) 21 (B) 23 (C) 25 (D) 24

Q18. 1³ + 2³ + 3³ + 4³ + 5³ का मान क्या है?

(A) 225 (B) 125 (C) 250 (D) 150

Q19. यदि किसी संख्या को 0 से विभाजित किया जाए, तो परिणाम क्या होगा?

(A) 0 (B) 1 (C) संख्या स्वयं (D) परिभाषित नहीं (Undefined)

Q20. 200 और 400 के बीच ऐसी कितनी संख्याएं हैं जो 7 से पूर्णतः विभाजित हैं?

(A) 28 (B) 29 (C) 27 (D) 30

9. उत्तरमाला (Answer Key)

Q1. (B) | Q2. (B) | Q3. (B) | Q4. (A)

Q5. (A) | Q6. (B) | Q7. (A) | Q8. (C)

Q9. (A) | Q10. (B) | Q11. (B) | Q12. (B)

Q13. (A) | Q14. (B) | Q15. (A) | Q16. (B)

Q17. (C) | Q18. (A) | Q19. (D) | Q20. (B)

Note: Q20 का हल: (400/7 = 57) - (200/7 = 28) = 29