Rational Numbers (परिमेय संख्याएं) - KVS/NVS Math Notes, Formulas & 20 Questions

KVS/NVS विशेष: परिमेय संख्याएं (Rational Numbers)

केन्द्रीय विद्यालय (KVS) और नवोदय विद्यालय (NVS) की परीक्षाओं में परिमेय संख्याएं एक अत्यंत महत्वपूर्ण अध्याय है। भिन्न (Fractions) और दशमलव (Decimals) की समझ इसी विषय पर टिकी है। आइए, इसे विस्तार से समझें।

विषय सूची (Quick Links)

परिभाषा प्रकार गुणधर्म मानक रूप संक्रियाएं दशमलव प्रसार महत्वपूर्ण सूत्र 20 अभ्यास प्रश्न उत्तरमाला

1. परिमेय संख्या की परिभाषा (Definition)

वह संख्या जिसे p/q के रूप में लिखा जा सके, जहाँ:

• p और q पूर्णांक (Integers) हैं।
• q शून्य के बराबर नहीं है (q ≠ 0)।

ऐसी संख्याओं को परिमेय संख्या (Rational Number) कहते हैं।

उदाहरण:

23

,

-57

, 4 (क्योंकि 4 =

41

), 0 (क्योंकि 0 =

01

)

क्या 0 एक परिमेय संख्या है?

हाँ। 0 को 0/1, 0/2 आदि के रूप में लिखा जा सकता है। चूँकि हर (denominator) 0 नहीं है, इसलिए यह एक परिमेय संख्या है।

2. परिमेय संख्याओं के प्रकार

प्रकार	विवरण	उदाहरण
धनात्मक (Positive)	अंश (Numerator) और हर (Denominator) दोनों के चिन्ह समान हों।	2/3, -5/-7
ऋणात्मक (Negative)	अंश और हर में से कोई एक ऋणात्मक हो।	-2/3, 5/-9

3. प्रमुख गुणधर्म (Properties)

(i) योज्य प्रतिलोम (Additive Inverse)

किसी संख्या का योज्य प्रतिलोम वह संख्या है जिसे जोड़ने पर योगफल 0 प्राप्त हो। सरल शब्दों में, केवल चिन्ह बदल जाता है।

उदाहरण:

a/b का योज्य प्रतिलोम = -a/b

-5/7 का योज्य प्रतिलोम = 5/7

(ii) गुणात्मक प्रतिलोम / व्युत्क्रम (Multiplicative Inverse / Reciprocal)

वह संख्या जिससे गुणा करने पर गुणनफल 1 प्राप्त हो। इसमें अंश हर बन जाता है और हर अंश।

उदाहरण:

a/b का गुणात्मक प्रतिलोम = b/a

-3/5 का गुणात्मक प्रतिलोम = -5/3

4. मानक रूप (Standard Form)

एक परिमेय संख्या मानक रूप में तब कहलाती है जब:

1. हर (Denominator) धनात्मक हो।
2. अंश और हर का म.स.प (HCF) केवल 1 हो (यानी वे आपस में न कटें)।

प्रश्न: 15/-25 को मानक रूप में बदलें।
हल:
1. हर को धनात्मक करें: -15/25
2. 5 से विभाजित करें: -3/5

5. परिमेय संख्याओं का दशमलव प्रसार (Decimal Expansion)

यह KVS/NVS के लिए सबसे महत्वपूर्ण टॉपिक है। परिमेय संख्याओं का दशमलव प्रसार दो प्रकार का होता है:

(A) सांत दशमलव (Terminating)

जब भाग देने पर शेषफल 0 हो जाए।

जादुई नियम (Trick):

यदि हर (denominator) के अभाज्य गुणनखंड केवल 2 या 5 या दोनों के रूप में हों, तो दशमलव प्रसार 'सांत' होगा।

उदाहरण: 7/20 (यहाँ 20 = 2×2×5) → सांत है।

(B) असांत आवर्ती (Non-Terminating Repeating)

जब भाग देने पर शेषफल कभी 0 न हो और अंकों की पुनरावृत्ति हो।

उदाहरण: 1/3 = 0.3333... (इसे 0.3̅ भी लिखते हैं)

6. महत्वपूर्ण सूत्र (Important Formulas)

1. दो परिमेय संख्याओं के बीच की संख्या निकालना:

मध्य संख्या =

a + b 2

2. परिमेय संख्याओं का योग:

ab

+

cd

=

ad + bcbd

3. परिमेय संख्याओं का भाग:

ab

÷

cd

=

ab

×

dc

7. अभ्यास प्रश्नावली (Practice Set for KVS/NVS)

नीचे 20 अति महत्वपूर्ण प्रश्न दिए गए हैं।

Q1. निम्नलिखित में से कौन सी एक परिमेय संख्या नहीं है?

(A) 2/3 (B) 0 (C) √2 (D) -5

Q2. 0 का गुणात्मक प्रतिलोम (Multiplicative Inverse) क्या है?

(A) 0 (B) 1 (C) -1 (D) परिभाषित नहीं (Undefined)

Q3. -5/9 का योज्य प्रतिलोम (Additive Inverse) है:

(A) 9/5 (B) -9/5 (C) 5/9 (D) 0

Q4. किन दो परिमेय संख्याओं का गुणनफल हमेशा 1 होता है?

(A) एक संख्या और उसका योज्य प्रतिलोम (B) एक संख्या और उसका गुणात्मक प्रतिलोम (C) दो ऋणात्मक संख्याएं (D) इनमें से कोई नहीं

Q5. 3/8 का दशमलव प्रसार किस प्रकार का है?

(A) सांत (Terminating) (B) असांत आवर्ती (C) असांत अनावर्ती (D) ज्ञात नहीं किया जा सकता

Q6. -7/19 और 0 में से कौन बड़ा है?

(A) -7/19 (B) 0 (C) दोनों बराबर हैं (D) कहा नहीं जा सकता

Q7. दो परिमेय संख्याओं के बीच कितनी परिमेय संख्याएं हो सकती हैं?

(A) केवल एक (B) दस (C) सौ (D) अपरिमित (Infinite)

Q8. संख्या 3.141414... (यानी 3.14̅) है एक:

(A) प्राकृत संख्या (B) पूर्ण संख्या (C) अपरिमेय संख्या (D) परिमेय संख्या

Q9. वह संख्या जो न तो धनात्मक है और न ही ऋणात्मक:

(A) 1 (B) 0 (C) -1 (D) 100

Q10. 15/45 को मानक रूप (Standard Form) में लिखें:

(A) 3/9 (B) 1/3 (C) 5/15 (D) 15/45

Q11. -1 का व्युत्क्रम (Reciprocal) क्या है?

(A) 1 (B) -1 (C) 0 (D) परिभाषित नहीं

Q12. यदि x = 2/3 और y = 3/2 है, तो (x + y) का मान है:

(A) 1 (B) 5/6 (C) 13/6 (D) 6/13

Q13. निम्नलिखित में से किसका दशमलव प्रसार 'असांत' (Non-terminating) होगा?

(A) 3/10 (B) 7/8 (C) 13/3125 (D) 10/3

Q14. 1/2 और 1/4 के ठीक बीच वाली परिमेय संख्या है:

(A) 3/8 (B) 3/4 (C) 1/3 (D) 2/8

Q15. a(b + c) = ab + ac यह कौन सा गुणधर्म है?

(A) साहचर्य (Associative) (B) क्रमविनिमेय (Commutative) (C) वितरण (Distributive) (D) संवरक (Closure)

Q16. सबसे छोटी अभाज्य संख्या और सबसे छोटी भाज्य संख्या का गुणनफल क्या है?

(A) 4 (B) 6 (C) 8 (D) 2

Q17. -8/21 × 7/16 का मान क्या होगा?

(A) -1/6 (B) 1/6 (C) -2/3 (D) -56/336

Q18. क्या π (pi) एक परिमेय संख्या है?

(A) हाँ (B) नहीं, यह अपरिमेय है (C) कभी-कभी (D) कहा नहीं जा सकता

Q19. 2.5 को p/q के रूप में व्यक्त करें:

(A) 2/5 (B) 5/2 (C) 25/9 (D) 25/99

Q20. किसी भी परिमेय संख्या 'a' के लिए: a ÷ 0 का मान है?

(A) a (B) 0 (C) 1 (D) परिभाषित नहीं

8. उत्तरमाला (Answer Key)

Q1. (C) √2 (यह अपरिमेय है)

Q2. (D) परिभाषित नहीं (1/0 संभव नहीं)

Q3. (C) 5/9 (चिन्ह बदलें)

Q4. (B) संख्या और उसका गुणात्मक प्रतिलोम

Q5. (A) सांत (क्योंकि 8 = 2³)

Q6. (B) 0 (ऋणात्मक संख्या 0 से छोटी होती है)

Q7. (D) अपरिमित (Infinite)

Q8. (D) परिमेय संख्या (आवर्ती दशमलव)

Q9. (B) 0

Q10. (B) 1/3 (15 से भाग देने पर)

Q11. (B) -1

Q12. (C) 13/6 [ (4+9)/6 ]

Q13. (D) 10/3 (हर में 3 है, 2 या 5 नहीं)

Q14. (A) 3/8 [ (1/2 + 1/4)/2 ]

Q15. (C) वितरण (Distributive)

Q16. (C) 8 (2 × 4)

Q17. (A) -1/6

Q18. (B) नहीं, यह अपरिमेय है (22/7 केवल लगभग मान है)

Q19. (B) 5/2 (25/10 को सरल करने पर)

Q20. (D) परिभाषित नहीं